MathFest 2024

Op 22 september vond de tweede Vlaamse editie van MathFest plaats, net als vorig jaar in de gebouwen en tuinen van Volkssterrenwacht Beisbroek (Cozmix) in Brugge, die op hetzelfde ogenblik opendeurdag hield.

Vorig jaar stond MathFest in het teken van het wereldrecord aperiodieke betegeling; dit jaar was het hoofdthema minstens even boeiend: fractalen, naar aanleiding van de honderdste geboortedag van Benoît Mandelbrot (1924-2010), de Franse wiskundige die zijn naam leende aan bekendste aller fractalen: de Mandelbrot-set.

Sinds ik meer dan dertig jaar geleden voor het eerst de Mandelbrot-set op het scherm van mijn Amiga 500 zag verschijnen (na meerdere uren renderen), hebben fractalen mij niet meer losgelaten. Het zijn bijzonder boeiende wiskundige objecten, vooral omdat ze ook gewoon in de natuur om ons heen blijken op te duiken, op allerlei onverwachte plekken. Het is aanvankelijk moeilijk te geloven hoe een vrij simpele formule aanleiding kan geven tot enorm complexe en tot de verbeelding sprekende figuren en vormen.

De organisatoren hadden weer voor een interessant en gevarieerd programma gezorgd met een fractalententoonstelling, een fulldome-voorstelling, tal van presentaties, demonstraties en vooral veel dingen die je als bezoeker zelf kon doen en uitproberen. Ik heb jammer genoeg een aantal interessante presentaties gemist, maar geen nood: de video’s verschijnen binnenkort nog op YouTube en op de website van Platform Wiskunde Vlaanderen, zo werd ons beloofd.

Een presentatie die ik wel heb gevolgd, is die van dr. Valery Vermeulen, die demonstreert hoe je data kunt omzetten in muziek. Hij heeft een zelfgebouwd orgel opgesteld, dat hij met zijn computer kan aansturen om allerlei verrassende klanken voort te brengen.

Net als vorig jaar hadden de organisatoren en de bezoekers van MathFest mazzel met het weer, alleen kwam er soms wat lichte bewolking voor de zon schuiven toen we door de grote en de kleine telescopen naar zonnevlekken wilden speuren.

Het was een bijzonder geslaagde en leerrijke namiddag, die we tevreden afsloten met een drankje op het terras van het nabijgelegen Koetsenhuis.

platformwiskunde.be
www.valeryvermeulen.net

Escher in het Paleis

Een tijdje geleden brachten we een bezoek aan Escher in het Paleis in Den Haag, een permanente tentoonstelling die helemaal gewijd is aan het fascinerende werk van Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Deze grafisch kunstenaar staat bekend om zijn vlakvullingen, metamorfosen en intrigerende afbeeldingen van onmogelijke objecten. Escher maakte voornamelijk houtsneden, houtgravures en lithografieën.

Onlangs ben ik er via een YouTube-video achter gekomen dat Escher zich voor enkele van de onmogelijke objecten heeft laten inspireren door Roger Penrose, de Britse wis- en natuurkundige, kosmoloog en Nobelprijswinnaar. In 2020 won Penrose samen met Andrea Ghez en Reinhard Genzel de Nobelprijs voor natuurkunde voor zijn onderzoek aan zwarte gaten. Maar Penrose heeft niet alleen Escher geïnspireerd, het omgekeerde was evengoed waar!

Deze tentoonstelling, die niet alleen werk van Escher zelf, maar ook van Samuel Jessurun de Mesquita laat zien – Eschers leraar en ontdekker –, is gehuisvest in een bijzonder gebouw: het Paleis aan het Lange Voorhout. Hier woonde koningin Emma, de betovergrootmoeder van koning Willem-Alexander. Je hebt dus eigenlijk twee bezienswaardigheden voor de prijs van één: de Escher-collectie én het interieur van het Paleis. Emma kocht het paleis in 1896 en ging er wonen in 1901, toen haar dochter Wilhelmina trouwde met de Duitse prins Hendrik.

Tussen de vele kunstwerken van Escher (en enkele van de Mesquita) door, kunnen we dus ook genieten van de pracht en praal van dit paleis, met heel wat goudkleurige elementen in ramen, deuren, trappen etc. En er is eigenlijk nog een derde bezienswaardigheid wanneer je het gebouw bezoekt: in elke zaal hangt een opvallende kroonluchter – allemaal unieke exemplaren –, ontworpen door kunstenaar Hans van Bentem en bijna allemaal geïnspireerd op het werk van M.C. Escher.

Bij de kassa hadden we ons laten vertellen dat we voor een bezoek aan de tentoonstelling zo’n anderhalf uur nodig zouden hebben, maar dat cijfer is natuurlijk gebaseerd op de gemiddelde bezoeker, en dat zijn wij duidelijk niet. We hebben er net geen drie uur over gedaan. Dat komt uiteraard doordat ik bij heel wat van Eschers kunstwerken een onweerstaanbare drang voelde om Miche en Annelies wat uitleg te geven over wat ze precies zagen en wat er nu zo bijzonder aan was. Vlakvullingen, symmetrieën, tegengestelden, spiegelingen, perspectief, oneindigheid, optische illusies... Het zijn stuk voor stuk bijzonder boeiende zaken!

In de grote traphal hangt een uitvergrote reproductie van één van Eschers beroemdste prenten: Hand met spiegelende bol. Hier zien we de linkerhand van de kunstenaar, die een spiegelende bol vasthoudt. In de weerspiegeling op de bol zien we wat Escher zag toen hij het werk maakte: zichzelf, zittend op een armstoel, met op de achtergrond de muren, ramen en inboedel van de kamer, een boekenplank, en zijn hand op de voorgrond. Uiteraard is het beeld in de bol vervormd, aangezien het geen vlakke, maar een bolle spiegel is.

Onlangs nog kwam ik het werk van Escher tegen op een eerder onverwacht moment: tijdens het lezen van het nieuwste boek van Thomas Hertog, Het onstaan van de tijd, waar de auteur Eschers Cirkellimiet IV gebruikt als illustratie van een tweedimensionale dwarsdoorsnede van een anti-de Sitter-ruimte. Het is een houtsnede met een zich eindeloos herhalende figuur van witte engelen en zwarte demonen. In het midden van de cirkel zijn er een relatief klein aantal duidelijke, grote figuren. Het patroon herhaalt zich tot aan de rand van de cirkel, maar daarbij worden de figuurtjes steeds talrijker, kleiner en minder duidelijk. Op de rand vervagen ze in een oneindige fractaal! Dit kunstwerk hebben we in de tentoonstelling niet zien hangen, maar wel een regelmatige vlakvulling met dezelfde figuurtjes, en ook andere cirkellimieten (Cirkellimiet II, met rode, witte en zwarte kruisjes, en Cirkellimiet III, met kleurrijke vissen), allemaal volgens hetzelfde principe.

Op de bovenste verdieping kunnen we zelf experimenteren met een spiegelende en een doorzichtige glazen bol, en kunnen we ons laten fotograferen in de ‘Escher-kamer’. Zo’n kamer hebben we eerder al gezien, onder andere in Technopolis in Mechelen. Met Escher heeft dit weinig te maken, maar het past wel in het thema van optische illusies. Dit soort kamer wordt een Ames-kamer genoemd, naar zijn ontwerper, de Amerikaanse wetenschapper Aldelbert Ames.

Deze tentoonstelling is echt een aanrader voor al wie van kunst, wiskunde, optische illusies en doordenkertjes houdt.

escherinhetpaleis.nl
youtu.be/f7kW8xd8p4s – The Art of the Impossible: MC Escher and Me – Secret Knowledge 1/2
youtu.be/1CYrGpd8k5w – The Art of the Impossible: MC Escher and Me – Secret Knowledge 2/2

MathFest 2023

Afgelopen weekend vond in Volkssterrenwacht Beisbroek bij Brugge de eerste Vlaamse editie van MathFest plaats, een festival en een feest voor iedereen die van wiskunde houdt. Heel wat mensen krijgen waarschijnlijk nachtmerries alleen al bij het horen van het woord ‘wiskunde’, omdat ze niet zo’n beste herinneringen overhouden aan hun middelbare schooltijd, maar dat is helemaal nergens voor nodig. Wiskunde hoeft niet soffig en saai te zijn, het kan ook ontzettend leuk zijn. Daar waren de talrijke bezoekers van MathFest 2023 het allemaal roerend over eens!

In de tuin en in de lokalen van het kasteel Beisbroek, waar de volkssterrenwacht zijn vaste stek heeft, waren heel wat zaken te beleven. Er waren enkele geleide bezoeken aan de Imaginary-tentoonstelling en enkele boeiende presentaties door gastsprekers, maar de meeste actie vond plaats in de tenten die in de tuin waren opgesteld. Jonge en minder jonge bezoekers konden hun wiskundig brein prikkelen met een kampioenschap exotische sudoku, dromenvangers, doe-decaëders, Rubiks kubussen, torens van Hanoi, breinbrekers, en nog veel meer.

De blikvanger was ongetwijfeld het wereldrecord aperiodieke betegeling, waarvan de eerste tegel gelegd werd door niemand minder dan professor Jean Paul Van Bendegem. Toen ik het programma van MathFest 2023 voor het eerst onder ogen kreeg en ik dit item zag staan, dacht ik meteen aan M.C. Escher, die bekend stond om (onder andere) zijn vele kunstzinnige vlakvullingen. Ik ben al jarenlang een groot bewonderaar van Escher, en vorige maand bezocht ik nog Escher in het Paleis in Den Haag, een absolute aanrader!

Eerder dit jaar publiceerde amateur-wiskundige David Smith een artikel waarin hij een nieuwe tegelvorm beschreef waarmee een vlakvulling gemaakt kan worden, de zogenaamde ‘ein-stein-hat’. Dit heeft niets met Albert Einstein te maken, maar alles met het feit dat je maar één steen (ein Stein) nodig hebt om een vlak op een heel speciale manier op te vullen. Deze asymetrische tegel heeft namelijk de merkwaardige eigenschap dat hij geen patroon toelaat dat zichzelf periodiek herhaalt.

Aangezien deze speciale tegel nog maar erg recent werd ontdekt, was er nog geen eerder record dat gebroken moest worden. Kwestie dus om de recordpoging voldoende scherp te zetten, zodat ze lang stand kan houden. De organisatoren van MathFest hadden zichzelf vier uur de tijd gegeven om, met de hulp van het publiek en algoritmische ondersteuning van het wiskunde-duo Bollebus, een vooraf bepaald patroon van 6.250 tegels te vormen. En dat is gelukt, er was zelfs nog wat tijd over! De hele operatie werd nauwlettend in het oog gehouden door een gerechtsdeurwaarder.

Deze eerste editie van MathFest is alvast geslaagd. Volgend jaar weer, graag!

arxiv.org – David Smith et al., A chiral aperiodic monotile
bollebus.be
escherinhetpaleis.nl
www.platformwiskunde.be – Wereldrecord aperiodiek vloertegelen

Hidden Figures

Hidden Figures past mooi in het rijtje van recente biopics die iets met wiskunde, wetenschap en technologie te maken hebben, mijn favoriete onderwerpen dus. Zo werden we een paar jaar geleden al getrakteerd op biografieën van Alan Turing (The Imitation Game) en Stephen Hawking (The Theory of Everything). De namen van de hoofdpersonages uit Hidden Figures zijn echter niet zo bekend als Turing of Hawking. Daar wil deze film, meer dan terecht, iets aan veranderen.

In Hidden Figures draait het om Katherine Johnson, Dorothy Vaughan en Mary Jackson, drie wetenschapsters die een belangrijke bijdrage hebben geleverd aan de ruimtewedloop in de begindagen van de NASA. Dat bijna niemand tot voor kort van deze dames had gehoord, heeft een reden: het gaat om Afro-Amerikaanse vrouwen, in een tijd dat zowel vrouwen als kleurlingen nog als minderwaardige wezens werden beschouwd (en zowat alle blanke Amerikanen dat doodnormaal vonden). Ze wisten zich echter, uiteraard niet zonder tegenkantingen, op te werken binnen een milieu dat bijna uitsluitend uit blanke mannen bestond, in een periode waarin in de Verenigde Staten nog de rassensegregatie van kracht was.

Dat laatste kunnen we ons nauwelijks nog voorstellen, maar mijn iets minder jonge lezers kennen het beslist nog van Zuid-Afrika, waar de apartheid pas in 1990 werd afgeschaft. In de Verenigde Staten maakte de Civil Rights Act al in 1964 een eind aan de segregatie. Voor die tijd hadden kleurlingen aparte scholen, aparte restaurants en kantines, aparte plaatsen achterin de bus en aparte toiletten. Pas in 1967 werd het verbod op gemengde huwelijken opgeheven, een jaar voordat in de Star Trek-aflevering Plato’s Stephchildren de eerste interraciale kus op de Amerikaanse televisie vertoond werd.

Deze film vertelt het verhaal van Katherine Johnson (Taraji P. Henson), Dorothy Vaughan (Octavia Spencer) en Mary Jackson (Janelle Monáe), die alle drie bij de West Area Computing Unit werkten in het Langley Research Center van NASA. De Unit bestond uitsluitend uit Afro-Amerikaanse vrouwen. In een tijd dat er nog nauwelijks computers waren, deed men op hen een beroep om allerlei berekeningen uit te voeren.

De berekeningen die nodig zijn om een ruimtetuig met succes in een baan om de Aarde te brengen, zijn niet eenvoudig. Om dat voor elkaar te krijgen, waren nieuwe rekenmethodes nodig, en het was uiteindelijk Katherine Johnson die met de oplossing op de proppen kwam.

Hidden Figures is verplicht voer voor iedereen die geïnteresseerd is in de begindagen van de Amerikaanse ruimtevaart. We krijgen de Mercury Seven-astronauten te zien, windtunneltesten met de Mercury-capsule, de ruimtevlucht van John Glenn, en historische beeldfragmenten van o.a. JFK’s Moon Speech uit 1962 en de splashdown van Gus Grissoms Liberty Bell.

Voor een wetenschaps- en ruimtevaart-geïnteresseerde als ik is deze film bijzonder boeiend om te zien. Kers op de taart komt wanneer de IBM-computer zijn intrede doet in het tweede deel van de film. Die computer neemt een heel lokaal in beslag, wordt gevoed door ponskaarten, spuwt massa’s listings op kettingpapier en wordt geprogrammeerd in Fortran. Toen ik in het begin van de jaren ’80 informatica studeerde (ja, zo oud ben ik dus al), ging het er nog bijna exact op die manier aan toe. Op het gebied van computers is er de laatste decennia heel snel en heel veel vooruitgang gemaakt. Het is bijna onvoorstelbaar dat de smartphones waarmee we vandaag allemaal rondlopen stuk voor stuk krachtiger computers zijn dan de computers die de NASA gebruikte om een raket naar de maan te sturen!

De film is niet helemaal historisch accuraat, maar dat kan de pret niet derven. Immers: al in 1958, bij de overgang van NACA (National Advisory Committee for Aeronautics) naar NASA (National Aeronautics and Space Administration) werd de segregatie binnen de Amerikaanse ruimtevaartorganisatie afgeschaft. De film geeft desalniettemin een bijzonder goed beeld van de tijdgeest.

Ook mooi meegenomen: er zijn nog enkele bekende acteurs in belangrijke bijrollen, met name Kevin Costner, Kirsten Dunst, Jim Parsons en Mahershala Ali. Vooral Parsons (gekend als de onnavolgbare Sheldon Cooper in The Big Bang Theory) is geknipt voor de rol van hoofdingenieur van de Space Task Group.

Hidden Figures heeft al enkele awards in de wacht gesleept en is genomineerd voor drie Oscars, waaronder die voor beste film. In de vroege uurtjes van 27 februari weten we of die nominaties verzilverd kunnen worden.

www.foxmovies.com/movies/hidden-figures

Edit: helaas geen Oscars gewonnen, maar drie nominaties zijn natuurlijk lang niet mis...

Dit is geen citroen

De illustratie hierboven lijkt misschien op een citroen, maar het is geen citroen. Het is een rendering van een driedimensionaal meetkundig lichaam dat je verkrijgt met de simpele wiskundige formule x² + z² = y³(1 – y)³. Met andere woorden: in een driedimensionale ruimte met drie loodrecht op elkaar staande assen x, y en z (een doodgewone euclidische ruimte, zoals je je beslist herinnert van op de middelbareschoolbanken), levert de verzameling van alle punten die aan deze vergelijking voldoen, een oppervlak op dat erg op een citroen lijkt. Zeker als je al die punten een gele kleur geeft, er bepaalde reflectieve eigenschappen aan toekent, er wat schuin tegenaan kijkt en er een lichtbron op laat schijnen. Het resultaat is deze rendering.

Heel wat andere, vaak bijzonder simpele formules blijken nog meer interessante sculpturen op te leveren. Je kunt een aantal tot de verbeelding sprekende voorbeelden bekijken op imaginary.org. En het leukste van alles is: daar kun je ook de gratis Surfer-software downloaden waarmee je zelf aan de slag kunt. De software bevat enkele voorbeelden, die je dan naar believen kunt aanpassen. Je kunt natuurlijk ook zelf je eigen formules uitproberen en kijken of het wat moois oplevert. Véél leuker dan op Pokémons jagen, geloof me!

In Cozmix, het bezoekerscentrum van Volkssterrenwacht Beisbroek in Brugge, kun je nog tot 18 september een tentoonstelling bezoeken die aan dit soort wiskundige wonderen gewijd is. De tentoonstelling bevat niet enkel foto’s met prachtige, kleurrijke renderingen, maar ook vergelijkbare driedimensionale sculpturen die vervaardigd werden met behulp van een 3D-printer.

Deze tentoonstelling bewijst eens te meer dat wiskunde absoluut niet saai hoeft te zijn, integendeel! De kleurrijke posters, de 3D-prints en de softwarevisualisaties en -simulaties, waarmee je interactief aan de slag kunt, zullen je interesse en verwondering beslist aanwakkeren.

De Imaginary-tentoonstelling is nog tot en met 18 september gratis te bezoeken bij Cozmix, van maandag tot donderdag van 14.00 tot 17.00 uur en op zondag tot 18.00 uur.

imaginary.org
imaginary.org/program/surfer
www.cozmix.be/nl/imaginary

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 × 0 = 5

Mensen kunnen niet meer rekenen. Op Facebook vind ik daar zowat dagelijks het bewijs van. Op de populaire site circuleren al een poosje eenvoudige rekenvragen, waarop je het juiste antwoord moet selecteren uit een aantal keuzemogelijkheden. Hieronder een voorbeeldje van zo’n eenvoudige rekensom:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 × 0 =

En dan heb je de keuze uit volgende mogelijke antwoorden:

a. 0
b. 5
c. 6

De meerderheid van de respondenten geeft op zo’n vraag steevast het verkeerde antwoord, in dit geval 0. Het juiste antwoord is hier namelijk 5. Maar voor ik uitleg hoe je dit precies uitrekent, laat ik even zien hoe het niet moet.

Geloof het of niet, maar heel wat mensen nemen voor zo’n eenvoudige rekensom hun rekenmachine ter hand. Kwestie van zeker te zijn. (Ik zei het al: mensen kunnen niet meer rekenen.) Dus ze toetsen het volgende in op hun rekenmachine:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 × 0 =

En wat zegt de rekenmachine dan? Inderdaad: 0. Toch is dat niet het correcte antwoord. Mensen kunnen namelijk niet alleen niet rekenen, ze weten ook niet hoe ze een rekenmachine moeten gebruiken.

Telkens je op een bewerkingstoets drukt (in het voorbeeld: +, × of =) toont de rekenmachine een tussenresultaat. Wanneer je in het voorbeeld hierboven op de ×-toets drukt, heb je inmiddels al zes enen bij elkaar opgeteld en toont de rekenmachine dus 6. Wanneer je dat tussenresultaat vervolgens vermenigvuldigt met 0, krijg je als eindresultaat 0.

Heeft de rekenmachine een fout gemaakt? Neen, de rekenmachine heeft het bij het rechte eind: zes keer nul is nul.

Waarom blijf ik dan toch beweren dat het juiste antwoord 5 is, en niet 0? Welnu, om de simpele reden dat, wanneer er geen haakjes in een formule staan, vermenigvuldiging en deling altijd voorrang hebben op optelling en aftrekking. Dat is zowat de meest elementaire regel van de algebra. Wat betekent dat nu? Dat betekent concreet dat je eerst de vermenigvuldiging moet maken (1 × 0 = 0) en dat je dan pas de rest erbij moet optellen. Je moet de som dus lezen alsof er staat:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + (1 × 0) =

Wanneer je dat doet, dan krijg je:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 5.

Eenvoudig, niet? Toch blijkt zo’n simpele rekensom voor de meeste Facebook-gebruikers al te hoog gegrepen. Jammer. Mensen kunnen echt niet meer rekenen…

nl.wikipedia.org/wiki/Bewerkingsvolgorde

Tau is twee keer pi

Gisteren was het tau-dag. Tau is een Griekse letter (τ), en staat voor een wiskundige constante die gelijk is aan 2 × π. Dat laatste symbool is ook een Griekse letter: pi, en daar heeft zowat iedereen ooit wel van gehoord. Pi is namelijk de wiskundige constante die de verhouding weergeeft tussen de omtrek en de diameter van een cirkel.

Wellicht heb je op school geleerd dat pi gelijk is aan 3,14. Dat klopt slechts bij benadering, want in feite volgen er nog veel meer cijfers na de komma. (Zo veel zelfs dat je ze nooit allemaal kunt opschrijven.) Een andere benadering is 22/7. Misschien heb je dat ook op school geleerd.

Pi heb je erg vaak nodig in de wiskunde (en in de fysica), voor het berekenen van allerlei zaken. De meeste mensen zullen pi voornamelijk gebruiken als ze de omtrek of de oppervlakte van een cirkel moeten berekenen, of de inhoud van een bol, een cilinder of een kegel. De omtrek van een cirkel kun je berekenen met de eenvoudige formule O = 2πr, waarbij O de omtrek is en r de straal.

Pi-dag wordt jaarlijks door wiskunde-enthousiasten gevierd op 14 maart, omdat die datum in de Angelsaksische notatie geschreven kan worden als 3.14.

En zo komen we bij tau-dag, die gisteren, op 28 juni, gevierd werd. Een goede benadering van τ is namelijk 6,28 (of op z’n Angelsaksisch: 6.28).

Waarom we behalve π-dag ook τ-dag vieren? Omdat een aantal mensen – en ik kan me volledig in hun redenering vinden – van oordeel zijn dat we in onze formules beter overal 2π zouden vervangen door τ. Dat zou heel wat formules eenvoudiger maken, en tau is een meer voor de hand liggende keuze omdat dat getal de verhouding weergeeft tussen de omtrek en de straal, niet de diameter, van een cirkel. Het hele verhaal kun je nalezen in The Tau Manifesto op tauday.com.